在平面中，有三点，o，a，b，用向量的方法求a到ob的垂线长度

设 $\vec{OA} = \vec{a}$，$\vec{OB} = \vec{b}$，则 $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$。要求点 $A$ 到直线 $OB$ 的垂线长度，可以先求出点 $A$ 到直线 $OB$ 的距离向量，再求出它的长度。 点 $A$ 到直线 $OB$ 的距离向量为 $\operatorname{proj}_{\vec{OB}} \vec{OA}$，即向量 $\vec{OA}$ 在向量 $\vec{OB}$ 上的投影向量。根据向量投影的公式，有： $$ \operatorname{proj}_{\vec{OB}} \vec{OA} = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{\|\vec{OB}\|^2} \vec{OB} $$ 因此，点 $A$ 到直线 $OB$ 的垂线长度为： $$ d = \left\|\vec{OA} - \operatorname{proj}_{\vec{OB}} \vec{OA}\right\| = \left\|\vec{OA} - \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{\|\vec{OB}\|^2} \vec{OB}\right\| $$ 这就是点 $A$ 到直线 $OB$ 的垂线长度的向量表达式。将 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的具体数值代入上式即可计算出实际的垂线长度。