求常微分方程dx/dy+y=0的通解

动态 未结 0 151
小小草
小小草 LV1 2023年9月23日 23:40 发表

我们可以将该常微分方程写成标准形式:

$$ \frac{dx}{dy} + y = 0 $$

这是一个一阶线性常微分方程,可以使用求解公式来求解。首先,我们需要求出其积分因子。

$$ \mu(y) = e^{\int y dy} = e^{\frac{1}{2}y^2} $$

将积分因子乘到原方程的两边,得到:

$$ e^{\frac{1}{2}y^2} \frac{dx}{dy} + ye^{\frac{1}{2}y^2}x = 0 $$

注意到左侧是一个乘积的导数,可以写成:

$$ \frac{d}{dy}\left(xe^{\frac{1}{2}y^2}\right) = 0 $$

对上式两边积分,得到:

$$ xe^{\frac{1}{2}y^2} = C $$

其中$C$为任意常数。因此,原方程的通解为:

$$ x = Ce^{-\frac{1}{2}y^2} $$

其中$C$为任意常数。

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