求常微分方程dx/dy+y=0的通解

我们可以将该常微分方程写成标准形式： $$ \frac{dx}{dy} + y = 0 $$ 这是一个一阶线性常微分方程，可以使用求解公式来求解。首先，我们需要求出其积分因子。 $$ \mu(y) = e^{\int y dy} = e^{\frac{1}{2}y^2} $$ 将积分因子乘到原方程的两边，得到： $$ e^{\frac{1}{2}y^2} \frac{dx}{dy} + ye^{\frac{1}{2}y^2}x = 0 $$ 注意到左侧是一个乘积的导数，可以写成： $$ \frac{d}{dy}\left(xe^{\frac{1}{2}y^2}\right) = 0 $$ 对上式两边积分，得到： $$ xe^{\frac{1}{2}y^2} = C $$ 其中$C$为任意常数。因此，原方程的通解为： $$ x = Ce^{-\frac{1}{2}y^2} $$ 其中$C$为任意常数。