请介绍GARCH模型相关理论

GARCH模型是一种用于描述时间序列波动率异方差性的经济计量模型，其全称为广义自回归条件异方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model）。 GARCH模型最初由Engle（1982）提出，它是对ARCH模型的扩展和改进。与ARCH模型不同的是，GARCH模型不仅考虑了过去残差项的平方对当前波动率的影响，还考虑了过去波动率的平方对当前波动率的影响。因此，GARCH模型可以更准确地描述时间序列的波动性，并且在金融、经济等领域中得到广泛应用。 GARCH模型的基本形式如下： $$ \begin{aligned} r_t &= \mu_t + \epsilon_t \\ \epsilon_t &= \sigma_t z_t \\ \sigma_t^2 &= \omega + \sum_{i=1}^{p}\alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{q}\beta_j \sigma_{t-j}^2 \end{aligned} $$ 其中，$r_t$表示时间序列的收益率或变化率，$\mu_t$表示均值，$\epsilon_t$表示误差项，$z_t$表示标准正态分布随机变量，$\sigma_t^2$表示波动率，$\omega$表示常数项，$\alpha_i$和$\beta_j$分别表示ARCH效应和GARCH效应的系数，$p$和$q$分别表示ARCH和GARCH的滞后阶数。 GARCH模型的核心思想是通过对过去残差项和波动率的平方进行加权，来预测当前的波动率。具体来说，当过去的残差项或波动率较大时，当前的波