使用Nadaraya-Watson参数化三维介质的折射率，给出折射率梯度方程

Nadaraya-Watson参数化是一种非参数回归方法，可以用于估计三维介质中的折射率分布。假设介质中每个点的折射率是一个未知函数f(x,y,z)，其中(x,y,z)为该点的坐标，则Nadaraya-Watson参数化的基本思想是利用周围已知点的折射率值来估计该点的折射率。 具体地，对于给定的点(x,y,z)，假设其周围有n个已知点(xi,yi,zi)，对应的折射率值为ni，则Nadaraya-Watson参数化的估计值f_hat(x,y,z)为： f_hat(x,y,z) = (Σni*K(||(x,y,z)-(xi,yi,zi)||)) / (ΣK(||(x,y,z)-(xi,yi,zi)||)) 其中K是核函数，||.||表示欧几里得距离。核函数的选择可以根据实际情况进行调整，常用的有高斯核、Epanechnikov核等。 在此基础上，可以求出折射率梯度方程。假设折射率函数f(x,y,z)可微分，则其梯度向量为： grad(f) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) 根据链式法则，可以将其表示为： grad(f) = (∂f/∂n) * (cosθ, cosφsinθ, sinφsinθ) 其中，(cosθ, cosφsinθ, sinφsinθ)是单位向量，表示光线的传播方向；∂f/∂n是法向导数，表示折射率在法向上的变化率。根据Nadaraya-Watson参数化的估计值f_hat(x,y,z)，可以得到其法向导数的估计值：