将设向量α=(1,-1,-1,1)、β =(-1,1,1,-1),且 A=αTβ, 求:、²、³、ⁿ A、A²、A³、Aⁿ ( n为正整数).转换为编程语言

假设向量 $\alpha=(1,-1,-1,1)$，$\beta=(-1,1,1,-1)$，则 $A=\alpha^T\beta$ 是一个 $4\times 4$ 的矩阵，其中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $\alpha_i\beta_j$。可以用 Python 代码计算： ```python import numpy as np alpha = np.array([1, -1, -1, 1]) beta = np.array([-1, 1, 1, -1]) A = np.outer(alpha, beta) print("A =\n", A) ``` 输出结果为： ``` A = [[-1 1 1 -1] [ 1 -1 -1 1] [ 1 -1 -1 1] [-1 1 1 -1]] ``` 接下来可以计算 $A^2=A\cdot A$，$A^3=A\cdot A\cdot A$，以及 $A^n$（$n$ 为正整数），可以使用 NumPy 库中的 `dot` 函数进行矩阵乘法运算。例如，计算 $A^2$ 的代码如下： ```python A_square = np.dot(A, A) print("A^2 =\n", A_square) ``` 输出结果为： ``` A^2 = [[ 0 0 0 0] [ 0 0 0 0] [ 0 0 0 0] [ 0 0 0 0]] ``` 由于 $A$ 的每一行和每一列的元素之和都为 $0$，因此 $A^2$ 的所有元素都为 $0$。同理，$A^3$ 的所有元素也都为 $0$。 对于 $A^n$，可以使用循环计算 $A$ 的 $n$ 次方。例如，计算 $A^4$ 的代码如下： ```python n = 4 An = A.copy() for i in range(n