求 \left ( \begin{matrix} 0&0&1 \cr 0&1&0 \cr 1&0&0 \end{matrix} \right )^{2022} \left ( \begin{matrix} 1&2&2 \cr 2&3&0 \

首先计算 $\left(\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{matrix}\right)^{2022}$，观察矩阵可以发现它是一个置换矩阵，即将 $(1,2,3)$ 变为 $(3,2,1)$。而 $2022$ 是偶数，因此 $\left(\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{matrix}\right)^{2022}$ 就是单位矩阵。 接下来考虑 $\left(\begin{matrix}1&2&2\\2&3&0\\1&0&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\2&0&1\end{matrix}\right)^{-1}$，先求逆矩阵： $$ \left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\2&0&1\end{matrix}\right)^{-1} = \left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{matrix}\right) $$ 然后将两个矩阵相乘： \begin{aligned} &\left(\begin{matrix}1&2&2\\2&3&0\\1&0&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{matrix}\right) \\ =&\left(\begin{matrix}1&2&0\\2&3&0\\-1&0&1\end{matrix}\right) \end{aligned} 因此，原式等于 $$ \left(\begin{matrix}1&2&0\\2&3&0\\-1&0&1\end{matrix}\right) $$