一个单位向量和一个普通向量的叉乘的几何意义

一个单位向量和一个普通向量的叉乘的几何意义是得到一个垂直于这两个向量所在平面的向量，其大小等于这两个向量所在平面的面积。具体来说，设 $\vec{a}$ 是一个单位向量，$\vec{b}$ 是一个不与 $\vec{a}$ 共线的向量，它们所在的平面为 $\alpha$，则 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的几何意义是： 1. $\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向垂直于 $\alpha$ 平面； 2. $\vec{a} \times \vec{b}$ 的大小等于 $\alpha$ 平面的面积的两倍，即 $|\vec{a} \times \vec{b}| = 2S_{\alpha}$，其中 $S_{\alpha}$ 表示 $\alpha$ 平面的面积。 由于 $\vec{a}$ 是单位向量，所以 $\vec{a}$ 所在的方向可以看作是一个基准方向。因此，$\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向就是 $\vec{b}$ 在 $\alpha$ 平面上的投影方向，且大小等于 $\vec{b}$ 在 $\alpha$ 平面上的投影长度。这个几何意义可以用右手法则来表示，即将右手的四指从 $\vec{a}$ 转向 $\vec{b}$，则大拇指所指的方向就是 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向。