2. 简述PCA的两种实现方法主要思想，并讨论PCA与LDA的异同。（25’）

PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的数据降维方法，其主要思想是通过线性变换将原始高维数据映射到低维空间中，使得映射后的数据能够最大程度地保留原始数据的信息。PCA有两种实现方法：基于特征值分解和基于奇异值分解。 基于特征值分解的PCA方法首先计算原始数据的协方差矩阵，然后对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征向量和特征值。接着，根据特征值的大小排序选择前k个特征向量，将原始数据投影到这些特征向量构成的子空间中，从而实现数据降维。 基于奇异值分解的PCA方法则是直接对原始数据进行奇异值分解，得到左奇异向量和右奇异向量，然后选择前k个右奇异向量构成的矩阵，将原始数据投影到该矩阵构成的子空间中，实现数据降维。 与PCA不同的是，LDA（Linear Discriminant Analysis）是一种有监督的数据降维方法，其主要思想是通过线性变换将原始高维数据映射到低维空间中，使得映射后的数据能够最大程度地区分不同类别之间的差异。LDA首先计算每个类别内部的协方差矩阵和所有类别之间的协方差矩阵，然后通过特征值分解得到投影矩阵，将原始数据投影到该矩阵构成的子空间中，实现数据降维。 PCA与L