由抛物线y=3x²与直线x=1和y=0所围平面区域D的面积为三分之一对吗

抛物线 $y=3x^2$ 与直线 $x=1$ 和 $y=0$ 所围成的平面区域 $D$ 如下图所示：  可以看出，该区域可以分为两个部分：一个是由 $x\in[0,1]$，$y\in[0,3x^2]$ 组成的三角形，另一个是由 $x\in[1,\sqrt{3}]$，$y\in[0,1]$ 组成的梯形。 第一个部分的面积为： $$ \int_0^1 3x^2 dx = [x^3]_0^1 = 1 $$ 第二个部分的面积为： $$ \int_1^{\sqrt{3}} (1-x) dx = [x-\frac{x^2}{2}]_1^{\sqrt{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{2} $$ 因此，整个区域 $D$ 的面积为： $$ \frac{1}{2} + \frac{3-\sqrt{3}}{2} = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} $$ 不等式 $\frac{1}{3} < 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 成立，因此由抛物线 $y=3x^2$ 与直线 $x=1$ 和 $y=0$ 所围成的平面区域 $D$ 的面积不是三分之一。