若级数u1+u2+·…·+un+·…收敛，则(u1+u2)+···+(un+Un+1)+收敛是对的吗

不一定对。 如果级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛，即 $\sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 收敛，则根据柯西收敛准则，对于任意的 $\epsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $m > n \geq N$ 时，有： $$ \left|\sum_{k=n+1}^m u_k\right| = |u_{n+1} + u_{n+2} + \cdots + u_m| \leq \sum_{k=n+1}^m |u_k| < \epsilon $$ 因此，$\sum_{n=1}^\infty (u_n + u_{n+1})$ 收敛。 但是，如果级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 只是条件收敛，即 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛而 $\sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 发散，那么就不能保证 $\sum_{n=1}^\infty (u_n + u_{n+1})$ 收敛。例如，取 $u_n = (-1)^{n+1}\frac{1}{n}$，则 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 是一个条件收敛的级数，但是 $\sum_{n=1}^\infty (u_n + u_{n+1}) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{2}{n}$ 是一个发散的级数。