维纳过程极大似然估计值是多少

维纳过程是一种连续时间随机过程，其取值在任意时刻都是随机的。因此，它的极大似然估计值并不是一个确定的数值，而是一个随机变量。 具体来说，假设我们观测到了维纳过程 $W(t)$ 在时间点 $t_1, t_2, \ldots, t_n$ 处的取值 $w_1, w_2, \ldots, w_n$，其中 $0 \leq t_1 < t_2 < \cdots < t_n$。我们可以使用这些观测值来估计维纳过程的参数，例如均值、方差等。 对于维纳过程的极大似然估计，通常需要先对其进行离散化处理，然后再应用最大似然估计方法。具体来说，我们可以将时间区间 $[0, T]$ 分成 $N$ 个小区间，每个小区间的长度为 $\Delta t = T/N$，然后在每个小区间内记录维纳过程的取值。这样，我们就得到了 $N$ 个随机变量 $W_1, W_2, \ldots, W_N$，它们服从正态分布 $N(0, \Delta t)$。 假设我们观测到的离散化后的维纳过程取值为 $w_1, w_2, \ldots, w_N$，则其对数似然函数为： $$ \begin{aligned} \log L &= \sum_{i=1}^N \log p(w_i) \\ &= -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^N \left(\frac{(w_i - 0)^2}{\Delta t}\right) - \frac{N}{2} \log(2\pi \Delta t) \end{aligned} $$ 其中