平稳时间序列的自协方差函数的性质和公式

平稳时间序列的自协方差函数（ACF）具有以下性质： 1. $\gamma_k=\gamma_{-k}$，即自协方差函数是偶函数。 2. $|\gamma_k|\leq\gamma_0$，即自协方差函数的绝对值不超过方差。 3. 自协方差函数是非负定的，即对于任意$n$和$\{a_i\}_{i=1}^n$，有$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j\gamma_{|i-j|}\geq 0$。 4. 自协方差函数的峰值逐渐减小，趋近于0。 平稳时间序列的自协方差函数可以用以下公式计算： $$\gamma_k=Cov(X_t,X_{t-k})=\frac{1}{T}\sum_{t=k+1}^T(X_t-\mu)(X_{t-k}-\mu)$$ 其中，$T$为样本容量，$\mu$为时间序列的均值。该公式表示自协方差函数是样本均值为0的样本协方差函数的无偏估计。