设ab的平方根为x，则有：
$$\begin{cases} \sqrt{a}\sqrt{b}=x \\ a+b=52 \end{cases}$$
将第一个式子平方得到$ab=x^2$，代入第二个式子得到：
$$\begin{aligned} a+b &= 52 \\ ab &= x^2 \end{aligned}$$
将两个式子变形得到：
$$\begin{cases} a=52-b \\ b=\frac{x^2}{a} \end{cases}$$
将第一个式子代入第二个式子得到$b=\frac{x^2}{52-b}$，整理得到：
$$b^2-52b+x^2=0$$
根据求根公式可得：
$$b=\frac{52\pm\sqrt{52^2-4x^2}}{2}=26\pm\sqrt{676-x^2}$$
因为$a+b=52$，所以有$a=26\mp\sqrt{676-x^2}$。但是由于$\sqrt{a}\sqrt{b}=x$，所以$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$必须同号，即$a$和$b$要么都大于等于0，要么都小于等于0。因此只能取$b=26-\sqrt{676-x^2}$，$a=26+\sqrt{676-x^2}$。最终答案为：
$$\begin{cases} a=26+\sqrt{276} \\ b=26-\sqrt{276} \end{cases}$$
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