某人每次射击命中目标的概率为 p，现连续向目标射击，直到第一次命中目标为止，求射击次数的期望

这是一个典型的几何分布问题。设 X 表示射击次数，则 X 的概率分布为： P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p 其中，k 表示第一次命中目标的射击次数。 期望 E(X) 可以通过以下公式计算： E(X) = Σ k * P(X=k) 其中，Σ 表示对所有可能的 k 进行求和。 将上面的概率分布带入公式，得到： E(X) = Σ k * (1-p)^(k-1) * p 这个求和式比较复杂，可以使用级数求和的方法来解决。具体地，我们可以对其进行变形，得到： E(X) = p * (1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ...) 这个式子右边的括号内是一个等比数列，可以用等比数列求和公式来计算。具体地，设 r=1-p，则有： E(X) = p * [1/(1-r)] * [1 + 2r + 3r^2 + 4r^3 + ...] 这个式子右边的括号内是一个幂级数，可以用幂级数求和公式来计算。具体地，设 f(x) = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ...，则有： f(x) = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ... x * f(x) = x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ... (1-x) * f(x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + ... = x/(1-x) 因此，有： f(x) = x/(1-x)^2 将 x=1-p 带入上式，得到： E(X) = p * [1/(1-(1-p))]